ฟังก์ชัน f {\displaystyle f} จากข้อมูลนำเข้าในเซต X {\displaystyle X} ไปยังผลที่เป็นไปได้ในเซต Y {\displaystyle Y} (เขียนเป็น f : X → Y {\displaystyle f:X\rightarrow Y} ) คือความสัมพันธ์ระหว่าง X {\displaystyle X} กับ Y {\displaystyle Y} ซึ่ง

1. สำหรับทุกค่า x {\displaystyle x} ใน X {\displaystyle X} จะมี y {\displaystyle y} ใน Y {\displaystyle Y} ซึ่ง x f y {\displaystyle xfy} ( x {\displaystyle x} มีความสัมพันธ์ f {\displaystyle f} กับ y {\displaystyle y} ) นั่นคือ สำหรับค่านำเข้าแต่ละค่า จะมีผลลัพธ์ใน Y {\displaystyle Y} อย่างน้อย 1 {\displaystyle 1} ผลลัพธ์เสมอ
2. ถ้า x f y {\displaystyle xfy} และ x f z {\displaystyle xfz} แล้ว y = z {\displaystyle y=z} นั่นคือ ค่านำเข้าหลายค่าสามารถมีผลลัพธ์ได้ค่าเดียว แต่ค่านำเข้าค่าเดียวไม่สามารถมีผลลัพธ์หลายผลลัพธ์ได้

ค่านำเข้า x {\displaystyle x} แต่ละค่า จากโดเมน จะมีผลลัพธ์ y {\displaystyle y} จากโคโดเมนเพียงค่าเดียว แทนด้วย f ( x ) {\displaystyle f(x)}

จากนิยามข้างต้น เราสามารถเขียนอย่างสั้นๆได้ว่า ฟังก์ชันจาก X {\displaystyle X} ไปยัง Y {\displaystyle Y} คือเซตย่อย f {\displaystyle f} ของผลคูณคาร์ทีเซียน X × Y {\displaystyle X\times Y} โดยที่แต่ละค่าของ x {\displaystyle x} ใน X {\displaystyle X} จะมี y {\displaystyle y} ใน Y {\displaystyle Y} ที่แตกต่างกัน โดยที่คู่อันดับ ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} อยู่ใน f {\displaystyle f}

เซตของฟังก์ชัน f : X → Y {\displaystyle f:X\rightarrow Y} ทุกฟังก์ชันแทนด้วย Y X {\displaystyle Y^{X}} เรียกว่าปริภูมิฟังก์ชัน สังเกตว่า | Y X | = | Y | | X | {\displaystyle |Y^{X}|=|Y|^{|X|}} (อ้างถึง จำนวนเชิงการนับ)

ความสัมพันธ์ระหว่าง X {\displaystyle X} กับ Y {\displaystyle Y} ซึ่งเป็นไปตามเงื่อนไข (1) นั่นคือฟังก์ชันหลายค่า ฟังก์ชันทุกฟังก์ชันเป็นฟังก์ชันหลายค่า แต่ฟังก์ชันหลายค่าไม่ทุกฟังก์ชันเป็นฟังก์ชัน ความสัมพันธ์ระหว่าง X {\displaystyle X} กับ Y {\displaystyle Y} ซึ่งเป็นไปตามเงื่อนไข (2) นั่นคือฟังก์ชันบางส่วน ฟังก์ชันทุกฟังก์ชันเป็นฟังก์ชันบางส่วน แต่ฟังก์ชันบางส่วนไม่ทุกฟังก์ชันเป็นฟังก์ชัน "ฟังก์ชัน" คือความสัมพันธ์ที่เป็นไปตามเงื่อนไขทั้งสองเงื่อนไข

ดูตัวอย่างต่อไปนี้

สมาชิก 3 {\displaystyle 3} ใน X {\displaystyle X} สัมพันธ์กับ b {\displaystyle b} และ c {\displaystyle c} ใน Y {\displaystyle Y} ความสัมพันธ์นี้เป็นฟังก์ชันหลายค่า แต่ไม่เป็นฟังก์ชัน

สมาชิก 1 ใน X {\displaystyle X} ไม่สัมพันธ์กับสมาชิกใดๆเลยใน Y {\displaystyle Y} ความสัมพันธ์นี้เป็นฟังก์ชันบางส่วน แต่ไม่เป็นฟังก์ชัน

ความสัมพันธ์นี้เป็นฟังก์ชันจาก X {\displaystyle X} ไปยัง Y {\displaystyle Y} เราสามารถหานิยามฟังก์ชันนี้อย่างชัดแจ้งได้เป็น f = { ( 1 , d ) , ( 2 , d ) , ( 3 , c ) } {\displaystyle f=\{(1,d),(2,d),(3,c)\}} หรือเป็น

f ( x ) = { d , if  x = 1 d , if  x = 2 c , if  x = 3. {\displaystyle f(x)=\left\{{\begin{matrix}d,&{\mbox{if }}x=1\\d,&{\mbox{if }}x=2\\c,&{\mbox{if }}x=3.\end{matrix}}\right.}